Die Pyknometer der Serie AccuPyc 1330 ermöglichen die Eingabe einer auf vier Dezimalstellen bestimmten Probenmasse (Gewicht). Vier Nachkommastellen sind auch bei kleinen Probenmassen ausreichend; die Verwendung zusätzlicher Nachkommastellen ist nicht erforderlich. Dieser Anwendungshinweis erklärt, warum.
Die Dichte eines Materials ist definiert als die Masse des Materials pro Volumeneinheit. Bei der Gaspyknometrie wird die Probenmasse mit einer Waage und das Probenvolumen mit einem Pyknometer, z. B. einem AccuPyc 1330, bestimmt. Der Bediener gibt die Probenmasse ein, und das AccuPyc berechnet die Dichte D nach der Messung des Volumens anhand der folgenden Gleichung:
wobei M die mit einer Waage gemessene und vom Bediener eingegebene Probenmasse und V das vom AccuPyc gemessene Probenvolumen ist.
Da die Dichte aus zwei unabhängig voneinander gemessenen Parametern berechnet wird, ergibt sich der erwartete Fehler bei der Berechnung aus einer Kombination der Fehler der beiden Einzelmessungen. Da die Dichte durch Division berechnet wird, werden die einzelnen relativen Fehler der beiden Messgrößen addiert, um den relativen Fehler der Dichte zu erhalten (um den kombinierten Fehler des Dichteergebnisses zu berechnen). Der relative Fehler ist der tatsächliche Fehler geteilt durch die tatsächlich gemessenen oder berechneten Werte, oder:
wobei EM der maximale erwartete Fehler in der gemessenen Probenmasse, EV der maximale erwartete Fehler im gemessenen Volumen und ED der maximale erwartete Fehler in der berechneten Dichte ist. Um zu sehen, wie dies funktioniert, sehen wir uns einige Beispiele an.
Beginnen Sie mit einer Probe mit geringer Dichte, beispielsweise einem organischen Pulver. Die typische Dichte für diese Art von Material beträgt 1,0 g/cm3. Verwenden Sie den AccuPyc mit einem Fassungsvermögen von 1 cm3 und füllen Sie den Becher mit dem Pulver (maximal 0,7 cm3 ). Diese Probe hätte eine Masse von etwa 0,7 g. Nehmen Sie an, dass das gemessene Gewicht 0,70000 g beträgt und dass das vom AccuPyc gemessene Volumen der Probe 0,7000 cm3 beträgt. Was sind nun die erwarteten Fehler für Masse, Volumen und Dichte?
Die Genauigkeitsspezifikationen für den AccuPyc sind:
wobei VO die volle Skalenkapazität des AccuPyc ist (in diesem Fall 1,0000cm3 ), V das gemessene Probenvolumen (in diesem Fall 0,7000cm3 ) und EV der erwartete maximale Messfehler ist. In diesem Beispiel beträgt der erwartete Fehler 0,00051cm3 oder weniger. Dividiert man diesen Fehler durch den gemessenen Wert, so ergibt sich der maximale relative Fehler bei der Volumenmessung, ausgedrückt in Prozent, von 0,073 %.
Bei diesem Massenfehler wird davon ausgegangen, dass die Waage bis auf 1 in der fünften Dezimalstelle genau ist. In diesem Fall beträgt der
erwartete Fehler 0,00001 g oder weniger. Für das gemessene Probengewicht von 0,70000 g beträgt der maximal erwartete
relative Fehler 0,0014 %.
Die Addition dieser beiden relativen Fehler ergibt den maximalen erwarteten relativen Fehler der berechneten Dichte, 0,074 %. Multipliziert man dies mit der gemessenen Dichte von 1,0000 g/cm3, so ergibt sich der maximale Fehler bei der Dichtemessung von 0,00074 g/cm3. Beachten Sie, dass fast der gesamte Dichtefehler, nämlich 98 %, allein aus dem Fehler im gemessenen Probenvolumen resultiert.
Bei dieser Berechnung wird davon ausgegangen, dass das Gewicht mit fünf Dezimalstellen eingegeben werden kann. Da der AccuPyc nur die Eingabe von vier Dezimalstellen zulässt, wie wirkt sich dies auf den zu erwartenden maximalen Fehler bei der berechneten Dichte aus?
Gehen Sie für dieses Beispiel von einem maximalen Massenfehler von 1 in der vierten Dezimalstelle aus, also 0,0001 g. Diesmal beträgt der relative Fehler bei der in den AccuPyc eingegebenen Masse 0,014 %, also zehnmal mehr als zuvor. Da es sich um die gleichen Volumenmessmöglichkeiten handelt, beträgt der maximal zu erwartende relative Volumenmessfehler immer noch 0,073 %. Der berechnete maximal zu erwartende Dichtefehler mit nur vier Dezimalstellen beträgt nun 0,087 % g/cm3. Selbst bei einer Eingabe mit nur vier Dezimalstellen resultieren 84 % des Gesamtfehlers aus Fehlern bei der Volumenmessung. Wenn wir die Masse für diese 1,0000 g/cm3-Probe mit fünf statt mit vier Stellen eingeben könnten, würde sich unsere Dichtegenauigkeit von 0,087 % auf 0,073 % verbessern, d. h. auf etwa 2 Stellen hinter dem Komma für die Dichte. Eigentlich ist dies keine große Verbesserung, wenn man die Kosten von Waagen mit vier statt fünf Dezimalstellen vergleicht.
Ein weiteres Beispiel: Versuchen Sie, am unteren Ende der für den AccuPyc angegebenen Kapazität zu arbeiten, d. h. mit 10 % des vollen Skalenvolumens. Dies bedeutet, dass nur 0,1000cm3 der Probe verwendet werden, die erwartungsgemäß 0,1000g wiegen würde. (Es wird immer noch eine Dichte von 1,000g/cm3 angenommen.) In diesem Fall beträgt der maximal zu erwartende Fehler bei der Volumenmessung 0,00033g/cm3 oder, als Prozentsatz des gemessenen Werts, 0,33%, was ziemlich groß ist, da der Probenbecher fast leer ist. Der erwartete maximale Fehler bei der gemessenen Masse beträgt bei fünf Nachkommastellen 0,00001g oder 0,01 % der gemessenen Masse. Wenn nur vier Dezimalstellen verwendet werden, erhöht sich der Massenfehler potenziell auf 0,0001 g oder 0,1 %. Kombiniert man Volumen- und Massefehler, so ergibt sich ein relativer Fehler von 0,34 % bzw. 0,43 % bei der Dichteberechnung, wenn die Masse mit fünf bzw. vier Dezimalstellen eingegeben wird. Da die gemessene Dichte 1,000 g/cm3 beträgt, ergibt dies eine Differenz von nur 9 in der vierten Dezimalstelle der berechneten Dichte! Sie sehen, dass der Volumenfehler immer noch den größten Teil des Gesamtfehlers ausmacht, nämlich 97 % bei der Eingabe von fünf Dezimalstellen und 77 % bei der Eingabe von nur vier Dezimalstellen.
Dies ist ein Worst-Case-Szenario mit minimalem Volumen im AccuPyc-Probenbecher und geringer Probendichte. Zur Veranschaulichung: Nehmen Sie an, Sie analysieren eine hochdichte Probe mit einer Dichte von 4,0000 g/cm3. Wenn Sie Berechnungen wie die oben durchgeführten verwenden, würden Sie den folgenden erwarteten Dichtefehler erhalten.
Auch hier ist zu beachten, dass der Unterschied im Dichtefehler aufgrund des Wägens mit vier bzw. fünf Dezimalstellen bei der letzten Dezimalstelle 2 bzw. 9 beträgt, wenn der Probenbecher 70 % bzw. 10 % des vollen Skalenvolumens enthält. Auch hier ist der größte Teil des Fehlers auf einen Fehler im gemessenen Volumen zurückzuführen. Ein noch größeres Beispiel ist der Vergleich der maximalen relativen Fehler für Materialien mit unterschiedlichen Dichten, von 0,8000 bis 20,0000 g/cm3, unter der Annahme eines Wägefehlers von 1 in der vierten und fünften Dezimalstelle, und für 0,7000, 0,4000 und 0,1000 cm3 der Probe.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Hinzufügung einer fünften Dezimalstelle den maximal zu erwartenden Fehler bei der berechneten Dichte nicht wesentlich verbessert, insbesondere wenn der Probenbecher fast mit der Probe gefüllt ist.
